Un mirada al triángulo ármonico de Leibnitz 
I. RESEÑA BIOGRÁFICA DE GOTTRIED LEIBNIZ
Gottfried Wilhelm von Leibniz, nació el 1 de julio de 1646 en Leipzig y murió el 14 de noviembre de 1716 Hannover. Fue uno de los grandes pensadores del siglo XVII y XVIII, pues realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como a la matemática, física, geología, jurisprudencia e historia. Por ello que se le reconoce como el "último genio universal". Además, durante su vida compartió con grandes personajes de las distintas áreas del conocimiento, como Christiaan Huygens, Isaac Newton, Baruch Spinoza, entre otros.
En el campo de la filosofía, Leibniz hizo una gran contribución a la metafísica, cuyas ideas estaban entre lo escolástico y aristotélico. Entre sus aportes destacan las mónadas (son al ámbito metafísico lo que los átomos al ámbito físico/fenomenal), la teodicea (intenta justificar las evidentes imperfecciones del mundo) y los principios de Leibniz (Identidad/contradicción, identidad de los indiscernibles, principio de razón suficiente, armonía perfecta, continuidad, optimismo y plenitud). En este campo, Leibniz ha sido objeto de controversia, incluso mientras vivía, pues recibió muchas críticas de los filósofos coetáneos, como Spinoza o Diderot.
En el campo de la matemática no fue diferente al anterior, como el gran problema que tuvo con Newton por la autoría del recién nacido cálculo, del que se afirma que la idea fue desarrollada primero por Newton, pero publicada primero por Leibniz. Además del cálculo, realizó trabajo sobre el sistema binario y series infinita, esto último lo llevó a desarrollar distintos métodos para explicarlo, de los que destaca su famoso triángulo armónico, conocido por su similitud con el triángulo de Pascal, pese a que nunca se conocieron en vida. Leibniz sólo leyó el legado dejado por Pascal.
Contexto Histórico
Leibniz vivió entre los siglo SXVII y SXVIII, donde el mundo comenzaba a vivir grandes cambios que se provocaban por la ciencias naturales, pues se comenzaba a tener explicación para todo, lo que impulsó a muchas personas a contribuir con ideas e inventos. Es en esta época reinaban los movimientos del Racionalismo y del Empirismo, por lo que las ciencias exactas eran algo fundamental.
II. DOS FORMAS DE CONSTRUIR EL TRIÁNGULO ARMÓNICO DE LEIBNIZ
1 ½ 1/3 1/4
½ 1/6 1/12
1/3 1/12
1/4
Forma A: Transformando el triángulo de Pascal (TP).
Tenemos TP:
1 1 1 1 I.- Dividimos todos números unos (salvo el primero)
1 2 3 por el número de la fila menos 1, en otras
1 3 palabras, (1 / (n – 1))
1
Obtenemos,
1 ½ 1/3 1/4 II.- Los términos centrales los escribimos como su
½ 2 3 inverso multiplicativo.
1/3 3
1/4
Obtenemos,
1 ½ 1/3 1/4 III.- Multiplicamos los términos centrales por el
½ 1/2 1/3 primero o el último de la fila. Ver flechas.
1/3 1/3
¼
Y Obtenemos el triángulo de armónico de Leibniz
1 ½ 1/3 1/4
½ 1/6 1/12
1/3 1/12
1/4
Forma B: “Cada término (número racional) se obtiene de sumar los dos números del lado que le suceden”
Comenzamos con el número uno, cuyos predecesores son ½, pues 0,5 + 0,5 = 1.
1 ½
½
Ahora, el número 0,5, lo podemos expresar como 0,5 = 0,333 + 0,166, pues hacer de 0,5= 0,25 + 0,25, rompe con la idea de series que tiene el triángulo, pues 0,25 es expresado como 1/4, lo que significaría perder el valor de la secuencia 1/3 (0,333), por lo tanto:
1 ½ 1/3
½ 1/6
1/3
Nuevamente, el 1/3 será precedido por ¼ y X, donde X = 1/3 – ¼ = 1/12, con lo que obtenemos:
1 ½ 1/3 1/4
½ 1/6 1/12
1/3 1/12
1/4
Y así se repetirá el procedimiento hasta llegar a la fila que se desee.
III. PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO ARMÓNICO DE LEIBNIZPropiedad
1“El triángulo armónico de Leibniz es, al igual que el triángulo de Pascal, un arreglo triangular infinito de números racionales, cuyo eje de simetría (1, 1/6, 1/30, 1/60,…) desciende desde el vértice y es perpendicular a cualquiera de sus bases.”
Propiedad
2“También el triángulo armónico admite (n + 1) elementos en la fila n”
Propiedad
3“Cada término se obtiene de sumar los números de los lados que le suceden (ver forma B de construcción del triángulo armónico de Leibniz).”
Propiedad
4“Los términos a, b y c adyacentes del triángulo, tal que a está de la fila superior y b y c elementos de la inferior, entonces a = b + c, b = a – c y c = a – b”.
Ejemplo:
1 ½ 1/3
½ 1/6
1/3
Si a = ½, b = 1/3 y c = 1/6, entonces ½ = 1/3 + 1/6, 1/3 = ½ - 1/6, 1/6 = ½ - 1/3.
Propiedad
5“La suma de todos los denominadores de los elementos de cada fila del triángulo corresponden a (n * 2(n-1))”.
Ejemplo fila 3: 1/3 + 1/6 + 1/3 = 3 + 6 + 3 = (3 * 22) = 12.
Propiedad
6“Cualquier elemento lo podemos obtener como E(n, k) = , donde es un coeficiente binomial, donde ‘n’ es el número de la fila y ‘k’ el número de la columna.”
Ejemplo: Tomando E(3,2) = 1/6, aplicamos la formula:
E(3,2) = 1 / ( 2 ( 3 2) ) = 1 / ( 2 * ( 3*2*1 / 2*1 ) ) = 1 / ( 2 * (3) ) = 1/6
Propiedad
7“Salvo la serie de la primera fila, divergente, el resto (fila n) tiene por suma 1/(n-1).”
Ejemplo: La diagonal 2, que forma la serie 1/2, 1/6, 1/12, 1/20,... tiene a 1.
Propiedad
8“Las diagonales del triángulo se rigen por la propiedad telescópica de la sumatoria, formando, de esta manera, series telescópicas.”
Ejemplo, la diagonal 2
: 1/2, 1/6, 1/12, 1/20, ... = 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + 1/(4·5) + ... = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + (1/4 - 1/5) + ...
IV. RELACIÓN DEL TRIÁNGULO ARMÓNICO CON EL CÁLCULO INFINITESIMALLa relación existente entre el triángulo armónico y el cálculo infinitesimal es muy estrecha, debido a que los documentos históricos señalan que la creación de esta área de la matemática se debió a que Leibniz, su “creador no-oficial”, utilizó su trabajo para visualizar lo que sería el cálculo y, posteriormente, su teorema fundamental.
En el siguiente fragmento se puede apreciar con mayor claridad la relación descrita anteriormente:
“Leibniz estudió este fenómeno profundamente (el teorema fundamental del cálculo) en su hermoso triángulo armónico, haciendo que la fabricación de triángulo va formando secuencias de diferencia y sumas de secuencias que son operaciones mutuamente inversas. Él usó una analogía para pensar el problema de las aéreas como una suma de diferencias infinitesimales, llevándolo a la conexión entre área y tangente.
La tercera idea crucial contribuida a la creación del cálculo por parte de Leibniz, fue su concepción de un “triángulo característico” con lados infinitesimales en cada punto a lo largo de la curva. Las dos piernas de la derecha del triángulo representan elementos infinitesimales de cambio (sucesivas diferencias) en el eje horizontal y vertical entre el punto escogido y un punto infinitesimalmente cercano a lo largo de la curva, y su radio es la cuesta de la línea tangente a la curva en el punto.”
V. APLICACIONES DEL TRIÁNGULO ARMÓNICO Hoy en día las aplicaciones del triángulo son muy pocas, de las que destaca el uso de la propiedad telescópica para los cálculos de sumatorias y multiplicadoras algebraicas. Las grandes aplicaciones que tuvo el triángulo fueron en la época anterior, pues fue con este artilugio que Leibniz pudo visualizar muchos elementos del cálculo, en especial su teorema fundamental, pudiendo, así, crear una de las ramas fundamentales de la matemática.
Debido a su gran similitud con el triángulo de Pascal, como se apreció en el segundo tema de este trabajo, el triángulo armónico pasó a segundo plano en cuanto a aplicaciones. La mayor aplicación que tiene el triángulo de Pascal es en el área de la programación computacional, pues su algoritmo de construcción es la base para crear los famosos árboles binarios, que son la plataforma de muchos programas informáticos. El algoritmo del triángulo armónico es más complejo, debido a la dependencia de los elementos sucesores, y sus números fraccionarios hacen que las posibilidades de aplicarlo a alguna área “extra-matemática” sean muy bajas.
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¡El amor es racional!
